Soma dos termos de uma PG Finita

Numa progressão geométrica (PG) com um número finito de termos é
Somar os termos da PG significa fazer possível calcular a soma desses termos, a exemplo do que ocorre com a progressão aritmética (PA).

       Para encontrarmos uma expressão para calcular essa soma, multiplicaremos por "q" os dois membros da igualdade acima:

E, subtraindo a 1ª igualdade da 2ª:

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Eis a fórmula da soma dos termos de uma PG finita.

No caso de uma PG com razão igual a 1, como, por exemplo, (2, 2, 2, 2, 2), essa fórmula não funciona, pois o denominador seria zero.

Nesse caso, a soma é igual ao número de termos multiplicado pelo 1º termo:

Fontes:

Livro Positivo, 2011, 2ª série do Ensino Médio, 1º bimestre

Livro Matemática - contexto e aplicações, Autor Luiz Roberto Dante

http://educacao.uol.com.br/matematica/progressao-geometrica.jhtm 

Interpolação Geométrica

 

É possível supor que a quantidade de pessoas presentes em um evento público correspondente, a cada hora, aos termos de uma progressão geométrica em um determinado período do dia a dia. Inicialmente, existiam 8 pessoas, mas após 5 horas, o número total era igual a 25000. Como evoluiu o número total de pessoas por hora?

Este problema pode ser representado do seguinte modo:

(8, __ , __ , __ , __ , 25000)

         Utilizando os conceitos estudados de PG, podemos escrever:



Logo, a cada hora, o número de pessoas presentes ao evento quintuplicava, ou seja, era multiplicado por cinco.

Daí podemos dizer que:

a ₂ =  40

a ₃ =  ₂₀₀

a ₄ =  1000

a ₅ =  5000

Na situação anterior, fizemos uso de uma interpolação geométrica. Nesse caso, a palavra interpolação significa inserção de elementos na sequencia. Os termos inseridos são chamados de meios geométricos.

Definição:

Fontes:

Livro Positivo, 2011, 2ª série do Ensino Médio, 1º bimestre

Livro Matemática - contexto e aplicações, Autor Luiz Roberto Dante

Classificação das progressões geométricas:

         A classificação de uma PG depende de sua razão, podendo ser classificada como:

®   Crescente:

 A PG é crescente quando q > 1 e os termos são positivos ou quando 0 < q < 1 e os termos são negativos. Por exemplo:

( 2, 6, 18, 54, ...) com q = 3

( - 40, - 20, - 10 , - 5, ... ) com q = 0,5  



®   Decrescente

A PG é decrescente quando 0 < q < 1 e os termos são positivos ou quando q > 1 e os termos são negativos. Exemplos:

 

            ( 200, 100, 50, 25, ...) , em que q = 1

                                                                              2

( - 4 , - 12, - 36, - 108, ...), em que q = 3

®   Constante:

A PG é constante quando a sua razão é igual a 1. Veja os exemplos:

         (5, 5, 5, 5, 5, ...), onde q = 1

         (- 20, - 20, - 20, - 20, ...), onde q = 1

®   Oscilante ou Alternante:

A PG é oscilante ( ou Alternante) quando q < 0. Veja:

(4, -8, 16, -32, ...), na qual q = - 2   

          (- 32, 16, - 8, 4, ...), na qual q = 0, 5 

Fontes:

Livro Positivo, 2011, 2ª série do Ensino Médio, 1º bimestre

Livro Matemática - contexto e aplicações, Autor Luiz Roberto Dante

Progressão Geométrica (PG)

            Se você lançar uma moeda sete vezes consecutivamente, quais são os resultados possíveis?

            Em cada lançamento da moeda, o resultado dependerá da face que fica voltada para cima. Se a moeda é lançada uma única vez, existem dois resultados possíveis: Cara ou coroa.

            Se a moeda for lançada duas vezes, há quatro possíveis resultados: (Cara e Cara, ou Cara e Coroa,ou Coroa e Cara, ou Coroa e Coroa)

Número de Lançamentos	Resultados
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32
6	64
7	128

Observe que é multiplicado um valor fixo em relação ao resultado anterior, formando-se uma progressão geométrica de razão dois.

Escrevendo a PG acima temos:

(2, 4, 8, 16, 32, 64, 128...)

Definição

A razão é encontrada quando dividimos um termo da PG pelo seu antecessor. Tomemos como exemplo a PG anterior.

(2, 4,8,16,32,64,128...)

O primeiro resultado será chamado de a₁ , o segundo de a₂ , o terceiro de a₃  e assim sucessivamente. 

Sendo assim, se dividirmos  a₂ por  a₁ teremos como resultado a razão.

Fontes: http://www.somatematica.com.br/emedio/pg.php

http://www.coladaweb.com/matematica/progressao-geometrica-(p-g-)

Livro Positivo, 2011, 2ª série do Ensino Médio, 1º bimestre