Progressão Geométrica

Juros compostos e progressões geométricas

         A maioria das operações financeiras efetuadas nos dias de hoje utiliza juros compostos para remunerar um capital. Para ilustrar, suponha, por exemplo, que uma pessoa aplicou R$ 1.000,00 em renda fixa a uma taxa de 20% ao ano. O montante M₁, obtido após um ano de aplicação, é calculado adicionando-se ao capital aplicado os juros do período, ou seja:

M₁ = 1.000,00 + 0,20 . 1.000,00

M₁ = 1.000,00 . (1+ 0,20)

M₁ = 1.000,00 . 1,20

M₁ = 1.200,00

         Observe que, para aumentar uma quantia em 20%, basta multiplicá-la por 1,20. Dessa forma, o montante após dois anos é igual ao valor do montante após uma ano multiplicado por 1,20:

                  M₂ = M₁ . 1,20

M₂ = 1.200,00 . 1,20

M₂ = 1.440,00

         O montante após três anos é igual ao montante após 2 anos multiplicado por 1,20:

                   M₃ = M₂ . 1,20

                   M₃ = 1.440,00 . 1,20

M₃ = 1.728,00

         Procedendo da mesma forma, podemos concluir que a seqüência formada pelos valores dos montantes, ano a ano e com base no aplicado inicialmente, constitui-se numa PG cujo primeiro termo é igual a R$ 1.000,00 e cuja razão é igual a 1,20. Assim, teremos a seguinte sequencia:

                   (1.000,00 ; 1.200,00 ; 1.440,00 ; 1.728,00; ...)

Para estudarmos o modelo de variação de uma capital em um regime de capitalização composta C, aplicado a uma taxa mensal de i%, durante t meses. O montante produzido pelo primeiro mês será:

                   M₁ = C. (1+i)

         O montante produzido até o segundo mês é igual ao montante produzido no primeiro mês multiplicado por (1+i)

                    M₂ = M₁ . (1+i)

                   M₂ = C . (1+i) (1+i)

                   M₂ = C . (1+i)²

         Dessa forma temos:

M₃ = C . (1+i)³

         M₄ = C . (1+i)⁴

         M₅ = C . (1+i)⁵

                Assim, o montante produzido até o mês t será dado por:

                                      M(t) = C . (1+i)^t

         Essa última fórmula é utilizada para calcular o montante em uma aplicação de juros compostos, dados o capital C, a taxa de juros i e o prazo da aplicação t. A taxa de juros i deve referir-se a mesma unidade de tempo utilizada para o período t, ou seja, se a taxa for em 15% ao ano, por exemplo, o prazo de tempo deve ser considerado em anos.

Fontes:

Livro Positivo, 2011, 2ª série do Ensino Médio, 1º bimestre