Progressão Geométrica

Fórmula do termo geral de uma PG:

         Em uma PG, por meio da fórmula do termo geral, é possível encontrar qualquer termo a_n da sequência sem a necessidade de se calcularem todos os termos que precedem.

         Considerando uma progressão geométrica (a_1, a_2, a_3, a_4, ..._. a_n, ...) de razão q, partindo do primeiro termo, para avançar um termo basta multiplicar o 1º termo pela razão q (a₂ =  a₁ . q); para avançar dois termos, basta multiplicar o 1º termo pelo quadrado da razão q (a₃ = a₁ . q) e assim por diante.

         Desse modo encontramos o termo de ordem n, denominado termo geral da PG, que é dado por:

a _n =  a₁ . q^{n - 1}

(ao passar de a₁ para a_n  avançamos (n – 1) termos)

Observações:

 1. Note que a₁₀ = a₃ q⁷ , pois ao passar de a₃  para a₁₀  avançamos 7 termos.

Dessa forma podemos estender a definição do termo geral para:

         a _n =  a_k . q^{n – k}

         ( Ao passar que a _k para a _n, avançamos (n – k) termos)

                  Exemplo:

         “Calcule o segundo termo de uma PG em que a₄ = 375 e q = 5”.

Dados:

a₄ = 375

q = 5

n = 4

Solução:

a₄ =  a₂ . q²  Þ 375 =  a₂ . 5²  Þ 375 =  a₂ . 25  Þ 25 a₂ = 375  Þ a₂ = 15

Portanto, a₂ = 15

2.     Muitas vezes é conveniente colocar o 1º termo como a₀ e o não a₁, ficando o termo geral da PG dado por a_n = a₀ . qⁿ

Exemplo:

“Se o número de sócios de um clube hoje é 200 e cresce 5% ao ano, quantos sócios esse clube terá em 3 anos?

Dados:

a₀ = 2000

q = 1 + i

Solução:

q = 1 + i = 1 + 0,05 = 1,05

a₃ = a₀ . q³ = 2000 (1,05)3 = 2000 . 1,157625 = 2315,25

Após três anos o clube terá aproximadamente 2315 sócios.

Fontes:

Livro Positivo, 2011, 2ª série do Ensino Médio, 1º bimestre

Livro Matemática - contexto e aplicações, Autor Luiz Roberto Dante