Soma dos termos de uma PG infinita
Numa PG do tipo (2, 6, 18, 54, ...) não seria possível calcular exatamente a soma de termos que crescem infinitamente. Essa soma seria infinita.
Porém, em casos em que a PG é decrescente, ou seja, possui razão 0 < q < 1, a soma é bastante intuitiva.
Considere, por exemplo, uma pessoa que possui uma barra de chocolate e não quer vê-la acabar tão cedo. Essa pessoa decide, então, que vai comer sempre a metade do pedaço que ela tiver.
Assim, no primeiro dia comerá a metade da barra inteira. No segundo dia, a metade da metade que sobrou do dia anterior. No terceiro dia, comerá a metade do pedaço do dia anterior, e assim por diante.
Esses pedaços consumidos formam uma PG infinita (considerando-se que a pessoa conseguiria dividi-la sempre) e decrescente:
Porém, em casos em que a PG é decrescente, ou seja, possui razão 0 < q < 1, a soma é bastante intuitiva.
Considere, por exemplo, uma pessoa que possui uma barra de chocolate e não quer vê-la acabar tão cedo. Essa pessoa decide, então, que vai comer sempre a metade do pedaço que ela tiver.
Assim, no primeiro dia comerá a metade da barra inteira. No segundo dia, a metade da metade que sobrou do dia anterior. No terceiro dia, comerá a metade do pedaço do dia anterior, e assim por diante.
Esses pedaços consumidos formam uma PG infinita (considerando-se que a pessoa conseguiria dividi-la sempre) e decrescente:
Porém, a soma de todas essas quantidades seria igual à barra toda, ou seja, 1.
Logo, é possível determinar a soma desse tipo de PG infinita, por meio da expressão:
Logo, é possível determinar a soma desse tipo de PG infinita, por meio da expressão:
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É importante destacar que a última fórmula somente poderá ser utilizada no cálculo da soma dos termos de uma PG infinita na qual |q|<1.
Fontes:
Livro Positivo, 2011, 2ª série do Ensino Médio, 1º bimestre
Livro Matemática - contexto e aplicações, Autor Luiz Roberto Dante
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