Objetivo do Blog:

O blog tem como objetivo apresentar aspectos teóricos e práticos da progressão geométrica, tais como: conceitos, definição, exercícios resolvidos, reportagens e curiosidades sobre o assunto. Com a possibilidade de que aja uma interação entre o professor e alunos.

Requisitado pelo professor Iedo Bezerra, da disciplina de Matemática, do Colégio José Correia Vianna.  

Equipe :

Dácio

Maria Laura

Marcos Euzébio

Mellissa Emilly

Rodrigo

Rosa Otilia

Índice

Progressão Geométrica

Classificação de PG

Fórmula do termo geral de uma PG

Interpretação geométrica

Interpolação geométrica

Soma dos termos de uma PG finita

Soma dos termos de uma PG infinita

Juros Compostos e Progressão geométrica

Exercicios Resolvidos

Video-aulas

Video Aulas

Só matemática - Parte 1

Só matemática - Parte 2

Vestibulandia - Parte 1

Vestibulandia - Parte 2



Vestibulandia - Parte 3

Exercícios Resolvidos:

Para mais exercicios Clique aqui.

Fonte:

http://www.tutorbrasil.com.br/

Juros compostos e progressões geométricas

         A maioria das operações financeiras efetuadas nos dias de hoje utiliza juros compostos para remunerar um capital. Para ilustrar, suponha, por exemplo, que uma pessoa aplicou R$ 1.000,00 em renda fixa a uma taxa de 20% ao ano. O montante M₁, obtido após um ano de aplicação, é calculado adicionando-se ao capital aplicado os juros do período, ou seja:

M₁ = 1.000,00 + 0,20 . 1.000,00

M₁ = 1.000,00 . (1+ 0,20)

M₁ = 1.000,00 . 1,20

M₁ = 1.200,00

         Observe que, para aumentar uma quantia em 20%, basta multiplicá-la por 1,20. Dessa forma, o montante após dois anos é igual ao valor do montante após uma ano multiplicado por 1,20:

                  M₂ = M₁ . 1,20

M₂ = 1.200,00 . 1,20

M₂ = 1.440,00

         O montante após três anos é igual ao montante após 2 anos multiplicado por 1,20:

                   M₃ = M₂ . 1,20

                   M₃ = 1.440,00 . 1,20

M₃ = 1.728,00

         Procedendo da mesma forma, podemos concluir que a seqüência formada pelos valores dos montantes, ano a ano e com base no aplicado inicialmente, constitui-se numa PG cujo primeiro termo é igual a R$ 1.000,00 e cuja razão é igual a 1,20. Assim, teremos a seguinte sequencia:

                   (1.000,00 ; 1.200,00 ; 1.440,00 ; 1.728,00; ...)

Para estudarmos o modelo de variação de uma capital em um regime de capitalização composta C, aplicado a uma taxa mensal de i%, durante t meses. O montante produzido pelo primeiro mês será:

                   M₁ = C. (1+i)

         O montante produzido até o segundo mês é igual ao montante produzido no primeiro mês multiplicado por (1+i)

                    M₂ = M₁ . (1+i)

                   M₂ = C . (1+i) (1+i)

                   M₂ = C . (1+i)²

         Dessa forma temos:

M₃ = C . (1+i)³

         M₄ = C . (1+i)⁴

         M₅ = C . (1+i)⁵

                Assim, o montante produzido até o mês t será dado por:

                                      M(t) = C . (1+i)^t

         Essa última fórmula é utilizada para calcular o montante em uma aplicação de juros compostos, dados o capital C, a taxa de juros i e o prazo da aplicação t. A taxa de juros i deve referir-se a mesma unidade de tempo utilizada para o período t, ou seja, se a taxa for em 15% ao ano, por exemplo, o prazo de tempo deve ser considerado em anos.

Fontes:

Livro Positivo, 2011, 2ª série do Ensino Médio, 1º bimestre

Soma dos termos de uma PG infinita

Numa PG do tipo (2, 6, 18, 54, ...) não seria possível calcular exatamente a soma de termos que crescem infinitamente. Essa soma seria infinita.

Porém, em casos em que a PG é decrescente, ou seja, possui razão 0 < q < 1, a soma é bastante intuitiva.

Considere, por exemplo, uma pessoa que possui uma barra de chocolate e não quer vê-la acabar tão cedo. Essa pessoa decide, então, que vai comer sempre a metade do pedaço que ela tiver.

Assim, no primeiro dia comerá a metade da barra inteira. No segundo dia, a metade da metade que sobrou do dia anterior. No terceiro dia, comerá a metade do pedaço do dia anterior, e assim por diante.

Esses pedaços consumidos formam uma PG infinita (considerando-se que a pessoa conseguiria dividi-la sempre) e decrescente:

Porém, a soma de todas essas quantidades seria igual à barra toda, ou seja, 1.

Logo, é possível determinar a soma desse tipo de PG infinita, por meio da expressão:

É importante destacar que a última fórmula somente poderá ser utilizada no cálculo da soma dos termos de uma PG infinita na qual |q|<1.

Fontes:

Livro Positivo, 2011, 2ª série do Ensino Médio, 1º bimestre

Livro Matemática - contexto e aplicações, Autor Luiz Roberto Dante

http://educacao.uol.com.br/matematica/progressao-geometrica.jhtm 

Soma dos termos de uma PG Finita

Numa progressão geométrica (PG) com um número finito de termos é
Somar os termos da PG significa fazer possível calcular a soma desses termos, a exemplo do que ocorre com a progressão aritmética (PA).

       Para encontrarmos uma expressão para calcular essa soma, multiplicaremos por "q" os dois membros da igualdade acima:

E, subtraindo a 1ª igualdade da 2ª:

<><><><><><>

<>

<><><><><><>

Eis a fórmula da soma dos termos de uma PG finita.

No caso de uma PG com razão igual a 1, como, por exemplo, (2, 2, 2, 2, 2), essa fórmula não funciona, pois o denominador seria zero.

Nesse caso, a soma é igual ao número de termos multiplicado pelo 1º termo:

Fontes:

Livro Positivo, 2011, 2ª série do Ensino Médio, 1º bimestre

Livro Matemática - contexto e aplicações, Autor Luiz Roberto Dante

http://educacao.uol.com.br/matematica/progressao-geometrica.jhtm 

Interpolação Geométrica

 

É possível supor que a quantidade de pessoas presentes em um evento público correspondente, a cada hora, aos termos de uma progressão geométrica em um determinado período do dia a dia. Inicialmente, existiam 8 pessoas, mas após 5 horas, o número total era igual a 25000. Como evoluiu o número total de pessoas por hora?

Este problema pode ser representado do seguinte modo:

(8, __ , __ , __ , __ , 25000)

         Utilizando os conceitos estudados de PG, podemos escrever:



Logo, a cada hora, o número de pessoas presentes ao evento quintuplicava, ou seja, era multiplicado por cinco.

Daí podemos dizer que:

a ₂ =  40

a ₃ =  ₂₀₀

a ₄ =  1000

a ₅ =  5000

Na situação anterior, fizemos uso de uma interpolação geométrica. Nesse caso, a palavra interpolação significa inserção de elementos na sequencia. Os termos inseridos são chamados de meios geométricos.

Definição:

Fontes:

Livro Positivo, 2011, 2ª série do Ensino Médio, 1º bimestre

Livro Matemática - contexto e aplicações, Autor Luiz Roberto Dante

 Interpretação geométrica de uma Progressão Geométrica

Já vimos que o termo geral de uma progressão geométrica é dado por a _n = a₁ . q^{n – 1} ou por a_n = a₀ . qⁿ quando começamos a enumeração dos termos por a_0. Nesse caso, podemos pensar em progressão geométrica como uma função que associa a cada numero natural n o valor dado por a_n = a₀. qⁿ. Essa função é a restrição aos números naturais da função exponencial a(x) = a_n.q^x . O gráfico dessa função é formado por uma sequencia de pontos pertencentes ao gráfico de uma exponencial.

Veja o exemplo de a_n = a₀.qⁿ, com a_{0 = 1/2}  e q = 3 e o esboço do gráfico.



Fontes:

Livro Matemática - contexto e aplicações, Autor Luiz Roberto Dante

Fórmula do termo geral de uma PG:

         Em uma PG, por meio da fórmula do termo geral, é possível encontrar qualquer termo a_n da sequência sem a necessidade de se calcularem todos os termos que precedem.

         Considerando uma progressão geométrica (a_1, a_2, a_3, a_4, ..._. a_n, ...) de razão q, partindo do primeiro termo, para avançar um termo basta multiplicar o 1º termo pela razão q (a₂ =  a₁ . q); para avançar dois termos, basta multiplicar o 1º termo pelo quadrado da razão q (a₃ = a₁ . q) e assim por diante.

         Desse modo encontramos o termo de ordem n, denominado termo geral da PG, que é dado por:

a _n =  a₁ . q^{n - 1}

(ao passar de a₁ para a_n  avançamos (n – 1) termos)

Observações:

 1. Note que a₁₀ = a₃ q⁷ , pois ao passar de a₃  para a₁₀  avançamos 7 termos.

Dessa forma podemos estender a definição do termo geral para:

         a _n =  a_k . q^{n – k}

         ( Ao passar que a _k para a _n, avançamos (n – k) termos)

                  Exemplo:

         “Calcule o segundo termo de uma PG em que a₄ = 375 e q = 5”.

Dados:

a₄ = 375

q = 5

n = 4

Solução:

a₄ =  a₂ . q²  Þ 375 =  a₂ . 5²  Þ 375 =  a₂ . 25  Þ 25 a₂ = 375  Þ a₂ = 15

Portanto, a₂ = 15

2.     Muitas vezes é conveniente colocar o 1º termo como a₀ e o não a₁, ficando o termo geral da PG dado por a_n = a₀ . qⁿ

Exemplo:

“Se o número de sócios de um clube hoje é 200 e cresce 5% ao ano, quantos sócios esse clube terá em 3 anos?

Dados:

a₀ = 2000

q = 1 + i

Solução:

q = 1 + i = 1 + 0,05 = 1,05

a₃ = a₀ . q³ = 2000 (1,05)3 = 2000 . 1,157625 = 2315,25

Após três anos o clube terá aproximadamente 2315 sócios.

Fontes:

Livro Positivo, 2011, 2ª série do Ensino Médio, 1º bimestre

Livro Matemática - contexto e aplicações, Autor Luiz Roberto Dante

Classificação das progressões geométricas:

         A classificação de uma PG depende de sua razão, podendo ser classificada como:

®   Crescente:

 A PG é crescente quando q > 1 e os termos são positivos ou quando 0 < q < 1 e os termos são negativos. Por exemplo:

( 2, 6, 18, 54, ...) com q = 3

( - 40, - 20, - 10 , - 5, ... ) com q = 0,5  



®   Decrescente

A PG é decrescente quando 0 < q < 1 e os termos são positivos ou quando q > 1 e os termos são negativos. Exemplos:

 

            ( 200, 100, 50, 25, ...) , em que q = 1

                                                                              2

( - 4 , - 12, - 36, - 108, ...), em que q = 3

®   Constante:

A PG é constante quando a sua razão é igual a 1. Veja os exemplos:

         (5, 5, 5, 5, 5, ...), onde q = 1

         (- 20, - 20, - 20, - 20, ...), onde q = 1

®   Oscilante ou Alternante:

A PG é oscilante ( ou Alternante) quando q < 0. Veja:

(4, -8, 16, -32, ...), na qual q = - 2   

          (- 32, 16, - 8, 4, ...), na qual q = 0, 5 

Fontes:

Livro Positivo, 2011, 2ª série do Ensino Médio, 1º bimestre

Livro Matemática - contexto e aplicações, Autor Luiz Roberto Dante

Progressão Geométrica (PG)

            Se você lançar uma moeda sete vezes consecutivamente, quais são os resultados possíveis?

            Em cada lançamento da moeda, o resultado dependerá da face que fica voltada para cima. Se a moeda é lançada uma única vez, existem dois resultados possíveis: Cara ou coroa.

            Se a moeda for lançada duas vezes, há quatro possíveis resultados: (Cara e Cara, ou Cara e Coroa,ou Coroa e Cara, ou Coroa e Coroa)

Número de Lançamentos	Resultados
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32
6	64
7	128

Observe que é multiplicado um valor fixo em relação ao resultado anterior, formando-se uma progressão geométrica de razão dois.

Escrevendo a PG acima temos:

(2, 4, 8, 16, 32, 64, 128...)

Definição

A razão é encontrada quando dividimos um termo da PG pelo seu antecessor. Tomemos como exemplo a PG anterior.

(2, 4,8,16,32,64,128...)

O primeiro resultado será chamado de a₁ , o segundo de a₂ , o terceiro de a₃  e assim sucessivamente. 

Sendo assim, se dividirmos  a₂ por  a₁ teremos como resultado a razão.

Fontes: http://www.somatematica.com.br/emedio/pg.php

http://www.coladaweb.com/matematica/progressao-geometrica-(p-g-)

Livro Positivo, 2011, 2ª série do Ensino Médio, 1º bimestre