Objetivo do Blog:

O blog tem como objetivo apresentar aspectos teóricos e práticos da progressão geométrica, tais como: conceitos, definição, exercícios resolvidos, reportagens e curiosidades sobre o assunto. Com a possibilidade de que aja uma interação entre o professor e alunos.

Requisitado pelo professor Iedo Bezerra, da disciplina de Matemática, do Colégio José Correia Vianna.  

Equipe :

Dácio

Maria Laura

Marcos Euzébio

Mellissa Emilly

Rodrigo

Rosa Otilia

Índice

Progressão Geométrica

Classificação de PG

Fórmula do termo geral de uma PG

Interpretação geométrica

Interpolação geométrica

Soma dos termos de uma PG finita

Soma dos termos de uma PG infinita

Juros Compostos e Progressão geométrica

Exercicios Resolvidos

Video-aulas

Video Aulas

Só matemática - Parte 1

Só matemática - Parte 2

Vestibulandia - Parte 1

Vestibulandia - Parte 2



Vestibulandia - Parte 3

Exercícios Resolvidos:

Para mais exercicios Clique aqui.

Fonte:

http://www.tutorbrasil.com.br/

Juros compostos e progressões geométricas

         A maioria das operações financeiras efetuadas nos dias de hoje utiliza juros compostos para remunerar um capital. Para ilustrar, suponha, por exemplo, que uma pessoa aplicou R$ 1.000,00 em renda fixa a uma taxa de 20% ao ano. O montante M₁, obtido após um ano de aplicação, é calculado adicionando-se ao capital aplicado os juros do período, ou seja:

M₁ = 1.000,00 + 0,20 . 1.000,00

M₁ = 1.000,00 . (1+ 0,20)

M₁ = 1.000,00 . 1,20

M₁ = 1.200,00

         Observe que, para aumentar uma quantia em 20%, basta multiplicá-la por 1,20. Dessa forma, o montante após dois anos é igual ao valor do montante após uma ano multiplicado por 1,20:

                  M₂ = M₁ . 1,20

M₂ = 1.200,00 . 1,20

M₂ = 1.440,00

         O montante após três anos é igual ao montante após 2 anos multiplicado por 1,20:

                   M₃ = M₂ . 1,20

                   M₃ = 1.440,00 . 1,20

M₃ = 1.728,00

         Procedendo da mesma forma, podemos concluir que a seqüência formada pelos valores dos montantes, ano a ano e com base no aplicado inicialmente, constitui-se numa PG cujo primeiro termo é igual a R$ 1.000,00 e cuja razão é igual a 1,20. Assim, teremos a seguinte sequencia:

                   (1.000,00 ; 1.200,00 ; 1.440,00 ; 1.728,00; ...)

Para estudarmos o modelo de variação de uma capital em um regime de capitalização composta C, aplicado a uma taxa mensal de i%, durante t meses. O montante produzido pelo primeiro mês será:

                   M₁ = C. (1+i)

         O montante produzido até o segundo mês é igual ao montante produzido no primeiro mês multiplicado por (1+i)

                    M₂ = M₁ . (1+i)

                   M₂ = C . (1+i) (1+i)

                   M₂ = C . (1+i)²

         Dessa forma temos:

M₃ = C . (1+i)³

         M₄ = C . (1+i)⁴

         M₅ = C . (1+i)⁵

                Assim, o montante produzido até o mês t será dado por:

                                      M(t) = C . (1+i)^t

         Essa última fórmula é utilizada para calcular o montante em uma aplicação de juros compostos, dados o capital C, a taxa de juros i e o prazo da aplicação t. A taxa de juros i deve referir-se a mesma unidade de tempo utilizada para o período t, ou seja, se a taxa for em 15% ao ano, por exemplo, o prazo de tempo deve ser considerado em anos.

Fontes:

Livro Positivo, 2011, 2ª série do Ensino Médio, 1º bimestre

Soma dos termos de uma PG infinita

Numa PG do tipo (2, 6, 18, 54, ...) não seria possível calcular exatamente a soma de termos que crescem infinitamente. Essa soma seria infinita.

Porém, em casos em que a PG é decrescente, ou seja, possui razão 0 < q < 1, a soma é bastante intuitiva.

Considere, por exemplo, uma pessoa que possui uma barra de chocolate e não quer vê-la acabar tão cedo. Essa pessoa decide, então, que vai comer sempre a metade do pedaço que ela tiver.

Assim, no primeiro dia comerá a metade da barra inteira. No segundo dia, a metade da metade que sobrou do dia anterior. No terceiro dia, comerá a metade do pedaço do dia anterior, e assim por diante.

Esses pedaços consumidos formam uma PG infinita (considerando-se que a pessoa conseguiria dividi-la sempre) e decrescente:

Porém, a soma de todas essas quantidades seria igual à barra toda, ou seja, 1.

Logo, é possível determinar a soma desse tipo de PG infinita, por meio da expressão:

É importante destacar que a última fórmula somente poderá ser utilizada no cálculo da soma dos termos de uma PG infinita na qual |q|<1.

Fontes:

Livro Positivo, 2011, 2ª série do Ensino Médio, 1º bimestre

Livro Matemática - contexto e aplicações, Autor Luiz Roberto Dante

http://educacao.uol.com.br/matematica/progressao-geometrica.jhtm 

Soma dos termos de uma PG Finita

Numa progressão geométrica (PG) com um número finito de termos é
Somar os termos da PG significa fazer possível calcular a soma desses termos, a exemplo do que ocorre com a progressão aritmética (PA).

       Para encontrarmos uma expressão para calcular essa soma, multiplicaremos por "q" os dois membros da igualdade acima:

E, subtraindo a 1ª igualdade da 2ª:

<><><><><><>

<>

<><><><><><>

Eis a fórmula da soma dos termos de uma PG finita.

No caso de uma PG com razão igual a 1, como, por exemplo, (2, 2, 2, 2, 2), essa fórmula não funciona, pois o denominador seria zero.

Nesse caso, a soma é igual ao número de termos multiplicado pelo 1º termo:

Fontes:

Livro Positivo, 2011, 2ª série do Ensino Médio, 1º bimestre

Livro Matemática - contexto e aplicações, Autor Luiz Roberto Dante

http://educacao.uol.com.br/matematica/progressao-geometrica.jhtm