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"Enquanto a população humana cresce em progressão geométrica, a produção de alimentos cresce em progressão aritimética."



( Thomas Malthus)

quarta-feira, 13 de abril de 2011

 
Objetivo do Blog:
O blog tem como objetivo apresentar aspectos teóricos e práticos da progressão geométrica, tais como: conceitos, definição, exercícios resolvidos, reportagens e curiosidades sobre o assunto. Com a possibilidade de que aja uma interação entre o professor e alunos.
Requisitado pelo professor Iedo Bezerra, da disciplina de Matemática, do Colégio José Correia Vianna.  
Equipe :
Dácio
Maria Laura

Marcos Euzébio
Mellissa Emilly

Rodrigo
Rosa Otilia

Índice











terça-feira, 12 de abril de 2011

Video Aulas

Só matemática - Parte 1



Só matemática - Parte 2



Vestibulandia - Parte 1



Vestibulandia - Parte 2



Vestibulandia - Parte 3

Exercícios Resolvidos:




Para mais exercicios Clique aqui.




Fonte:

Juros compostos e progressões geométricas

         A maioria das operações financeiras efetuadas nos dias de hoje utiliza juros compostos para remunerar um capital. Para ilustrar, suponha, por exemplo, que uma pessoa aplicou R$ 1.000,00 em renda fixa a uma taxa de 20% ao ano. O montante M1, obtido após um ano de aplicação, é calculado adicionando-se ao capital aplicado os juros do período, ou seja:
M1 = 1.000,00 + 0,20 . 1.000,00
M1 = 1.000,00 . (1+ 0,20)
M1 = 1.000,00 . 1,20
M1 = 1.200,00
         Observe que, para aumentar uma quantia em 20%, basta multiplicá-la por 1,20. Dessa forma, o montante após dois anos é igual ao valor do montante após uma ano multiplicado por 1,20:
                  M2 = M1 . 1,20
M2 = 1.200,00 . 1,20
M2 = 1.440,00

         O montante após três anos é igual ao montante após 2 anos multiplicado por 1,20:
                   M3 = M2 . 1,20
                   M3 = 1.440,00 . 1,20
M3 = 1.728,00

         Procedendo da mesma forma, podemos concluir que a seqüência formada pelos valores dos montantes, ano a ano e com base no aplicado inicialmente, constitui-se numa PG cujo primeiro termo é igual a R$ 1.000,00 e cuja razão é igual a 1,20. Assim, teremos a seguinte sequencia:
                   (1.000,00 ; 1.200,00 ; 1.440,00 ; 1.728,00; ...)

Para estudarmos o modelo de variação de uma capital em um regime de capitalização composta C, aplicado a uma taxa mensal de i%, durante t meses. O montante produzido pelo primeiro mês será:
                   M1 = C. (1+i)
         O montante produzido até o segundo mês é igual ao montante produzido no primeiro mês multiplicado por (1+i)
                    M2 = M1 . (1+i)
                   M2 = C . (1+i) (1+i)
                   M2 = C . (1+i)2
         Dessa forma temos:
M3 = C . (1+i)3
         M4 = C . (1+i)4
         M5 = C . (1+i)5
                Assim, o montante produzido até o mês t será dado por:
                                      M(t) = C . (1+i)t

         Essa última fórmula é utilizada para calcular o montante em uma aplicação de juros compostos, dados o capital C, a taxa de juros i e o prazo da aplicação t. A taxa de juros i deve referir-se a mesma unidade de tempo utilizada para o período t, ou seja, se a taxa for em 15% ao ano, por exemplo, o prazo de tempo deve ser considerado em anos.


Fontes:
Livro Positivo, 2011, 2ª série do Ensino Médio, 1º bimestre
Soma dos termos de uma PG infinita

Numa PG do tipo (2, 6, 18, 54, ...) não seria possível calcular exatamente a soma de termos que crescem infinitamente. Essa soma seria infinita.

Porém, em casos em que a PG é decrescente, ou seja, possui razão 0 < q < 1, a soma é bastante intuitiva.

Considere, por exemplo, uma pessoa que possui uma barra de chocolate e não quer vê-la acabar tão cedo. Essa pessoa decide, então, que vai comer sempre a metade do pedaço que ela tiver.

Assim, no primeiro dia comerá a metade da barra inteira. No segundo dia, a metade da metade que sobrou do dia anterior. No terceiro dia, comerá a metade do pedaço do dia anterior, e assim por diante.

Esses pedaços consumidos formam uma PG infinita (considerando-se que a pessoa conseguiria dividi-la sempre) e decrescente:


Porém, a soma de todas essas quantidades seria igual à barra toda, ou seja, 1.

Logo, é possível determinar a soma desse tipo de PG infinita, por meio da expressão:


É importante destacar que a última fórmula somente poderá ser utilizada no cálculo da soma dos termos de uma PG infinita na qual |q|<1.


Fontes:
Livro Positivo, 2011, 2ª série do Ensino Médio, 1º bimestre
Livro Matemática - contexto e aplicações, Autor Luiz Roberto Dante
Soma dos termos de uma PG Finita

Numa progressão geométrica (PG) com um número finito de termos é
Somar os termos da PG significa fazer possível calcular a soma desses termos, a exemplo do que ocorre com a progressão aritmética (PA).


       Para encontrarmos uma expressão para calcular essa soma, multiplicaremos por "q" os dois membros da igualdade acima:

E, subtraindo a 1ª igualdade da 2ª:


<><><><><><>
<>
<><><><><><>



Eis a fórmula da soma dos termos de uma PG finita.

No caso de uma PG com razão igual a 1, como, por exemplo, (2, 2, 2, 2, 2), essa fórmula não funciona, pois o denominador seria zero.

Nesse caso, a soma é igual ao número de termos multiplicado pelo 1º termo:


Fontes:
Livro Positivo, 2011, 2ª série do Ensino Médio, 1º bimestre
Livro Matemática - contexto e aplicações, Autor Luiz Roberto Dante

Interpolação Geométrica
 

É possível supor que a quantidade de pessoas presentes em um evento público correspondente, a cada hora, aos termos de uma progressão geométrica em um determinado período do dia a dia. Inicialmente, existiam 8 pessoas, mas após 5 horas, o número total era igual a 25000. Como evoluiu o número total de pessoas por hora?
Este problema pode ser representado do seguinte modo:
(8, __ , __ , __ , __ , 25000)

         Utilizando os conceitos estudados de PG, podemos escrever:


Logo, a cada hora, o número de pessoas presentes ao evento quintuplicava, ou seja, era multiplicado por cinco.
Daí podemos dizer que:

a 2 =  40
a 3 =  200
a 4 =  1000
a 5 =  5000
Na situação anterior, fizemos uso de uma interpolação geométrica. Nesse caso, a palavra interpolação significa inserção de elementos na sequencia. Os termos inseridos são chamados de meios geométricos.
Definição:
Fontes:
Livro Positivo, 2011, 2ª série do Ensino Médio, 1º bimestre
Livro Matemática - contexto e aplicações, Autor Luiz Roberto Dante

 Interpretação geométrica de uma Progressão Geométrica


Já vimos que o termo geral de uma progressão geométrica é dado por a n = a1 . qn – 1 ou por an = a0 . qn quando começamos a enumeração dos termos por a0. Nesse caso, podemos pensar em progressão geométrica como uma função que associa a cada numero natural n o valor dado por an = a0. qn. Essa função é a restrição aos números naturais da função exponencial a(x) = an.qx . O gráfico dessa função é formado por uma sequencia de pontos pertencentes ao gráfico de uma exponencial.

Veja o exemplo de an = a0.qn, com a0 = 1/2  e q = 3 e o esboço do gráfico.


Fontes:
Livro Matemática - contexto e aplicações, Autor Luiz Roberto Dante

segunda-feira, 11 de abril de 2011

Fórmula do termo geral de uma PG:
         Em uma PG, por meio da fórmula do termo geral, é possível encontrar qualquer termo an da sequência sem a necessidade de se calcularem todos os termos que precedem.
         Considerando uma progressão geométrica (a1, a2, a3, a4, .... an, ...) de razão q, partindo do primeiro termo, para avançar um termo basta multiplicar o 1º termo pela razão q (a2 =  a1 . q); para avançar dois termos, basta multiplicar o 1º termo pelo quadrado da razão q (a3 = a1 . q) e assim por diante.
         Desse modo encontramos o termo de ordem n, denominado termo geral da PG, que é dado por:
a n =  a1 . qn - 1
(ao passar de a1 para an  avançamos (n – 1) termos)
Observações:

 1. Note que a10 = a3 q7 , pois ao passar de a3  para a10  avançamos 7 termos.
Dessa forma podemos estender a definição do termo geral para:
         a n =  ak . qn – k
         ( Ao passar que a k para a n, avançamos (n – k) termos)
                  Exemplo:
         “Calcule o segundo termo de uma PG em que a4 = 375 e q = 5”.
Dados:
a4 = 375
q = 5
n = 4
Solução:
a4 =  a2 . q2  Þ 375 =  a2 . 52  Þ 375 =  a2 . 25  Þ 25 a2 = 375  Þ a2 = 15
Portanto, a2 = 15





2.     Muitas vezes é conveniente colocar o 1º termo como a0 e o não a1, ficando o termo geral da PG dado por an = a0 . qn

Exemplo:
“Se o número de sócios de um clube hoje é 200 e cresce 5% ao ano, quantos sócios esse clube terá em 3 anos?

Dados:
a0 = 2000
q = 1 + i
Solução:
q = 1 + i = 1 + 0,05 = 1,05
a3 = a0 . q3 = 2000 (1,05)3 = 2000 . 1,157625 = 2315,25

Após três anos o clube terá aproximadamente 2315 sócios.


Fontes:
Livro Positivo, 2011, 2ª série do Ensino Médio, 1º bimestre
Livro Matemática - contexto e aplicações, Autor Luiz Roberto Dante
Classificação das progressões geométricas:
         A classificação de uma PG depende de sua razão, podendo ser classificada como:
®   Crescente:
 A PG é crescente quando q > 1 e os termos são positivos ou quando 0 < q < 1 e os termos são negativos. Por exemplo:
( 2, 6, 18, 54, ...) com q = 3
( - 40, - 20, - 10 , - 5, ... ) com q = 0,5  



®   Decrescente
A PG é decrescente quando 0 < q < 1 e os termos são positivos ou quando q > 1 e os termos são negativos. Exemplos:
 
            ( 200, 100, 50, 25, ...) , em que q = 1
                                                                              2
( - 4 , - 12, - 36, - 108, ...), em que q = 3
®   Constante:
A PG é constante quando a sua razão é igual a 1. Veja os exemplos:
         (5, 5, 5, 5, 5, ...), onde q = 1
         (- 20, - 20, - 20, - 20, ...), onde q = 1
®   Oscilante ou Alternante:
A PG é oscilante ( ou Alternante) quando q < 0. Veja:
(4, -8, 16, -32, ...), na qual q = - 2   
          (- 32, 16, - 8, 4, ...), na qual q = 0, 5 


Fontes:
Livro Positivo, 2011, 2ª série do Ensino Médio, 1º bimestre
Livro Matemática - contexto e aplicações, Autor Luiz Roberto Dante

Progressão Geométrica (PG)


            Se você lançar uma moeda sete vezes consecutivamente, quais são os resultados possíveis?
            Em cada lançamento da moeda, o resultado dependerá da face que fica voltada para cima. Se a moeda é lançada uma única vez, existem dois resultados possíveis: Cara ou coroa.
            Se a moeda for lançada duas vezes, há quatro possíveis resultados: (Cara e Cara, ou Cara e Coroa,ou Coroa e Cara, ou Coroa e Coroa)

Número de Lançamentos



Resultados
1
2
2
4
3
8
4
16
5
32
6
64
7
128



Observe que é multiplicado um valor fixo em relação ao resultado anterior, formando-se uma progressão geométrica de razão dois.
Escrevendo a PG acima temos:
(2, 4, 8, 16, 32, 64, 128...)

Definição






A razão é encontrada quando dividimos um termo da PG pelo seu antecessor. Tomemos como exemplo a PG anterior.

(2, 4,8,16,32,64,128...)
O primeiro resultado será chamado de a1 , o segundo de a2 , o terceiro de a e assim sucessivamente. 
Sendo assim, se dividirmos  apor  a1 teremos como resultado a razão.

Livro Positivo, 2011, 2ª série do Ensino Médio, 1º bimestre